Transformasi Laplace: Konsep Dasar & Aplikasi Penting dalam Teknik Mesin

Rumus Dasar Transformasi Laplace

Transformasi Laplace dari suatu fungsi $f(t)$ didefinisikan sebagai:

F(s)=L{f(t)}=∫0-∞[e^(−st) f(t)] dt

Keterangan:

• $f(t)$ = Fungsi waktu (misal: percepatan, suhu)
• $F(s)$ = Fungsi dalam domain $s$ (hasil transformasi)
• $s=\sigma +j\omega$ = Variabel kompleks

Tabel Transformasi Laplace Umum

Mengapa Transformasi Laplace Penting di Teknik Mesin?

1. Analisis Getaran Mekanis

• Contoh: Menghitung respon sistem pegas-massa-damper:m(d2x/dt2)+c(dx/dt)+kx=F(t)Dengan transformasi Laplace, persamaan diferensial diubah menjadi:(ms^2+cs+k)X(s)=F(s) Solusi X(s) lebih mudah dihitung!

2. Sistem Kontrol Otomatis

• Digunakan untuk mendesain PID controller pada:
  • Sistem suspensi otomotif
  • Pengaturan suhu mesin (thermal management)

3. Perpindahan Panas (Heat Transfer)

• Memodelkan distribusi suhu dalam silinder mesin:∂T/∂t=α∇^2T Transformasi Laplace menyederhanakan solusi persamaan diferensial parsial.

Langkah-Langkah Menerapkan Transformasi Laplace

1. Identifikasi persamaan diferensial sistem (misal: gerak rotasi, aliran fluida).
2. Transformasikan ke domain $s$ menggunakan tabel Laplace.
3. Selesaikan persamaan aljabar untuk $F(s)$.
4. Lakukan invers Laplace untuk mendapatkan solusi waktu $f(t)$.

Contoh Sederhana:
Persamaan diferensial:

(dy/dt)+2y=0, y(0)=1

Transformasi Laplace:

sY(s)−1+2Y(s)=0⇒Y(s)=1/(s+2)

Invers Laplace:

y(t)=e^(−2t)

Aplikasi Software untuk Transformasi Laplace

• MATLAB: Fungsi laplace dan ilaplace.
• Python (SymPy):
  from sympy import symbols, laplace_transform, exp, sin
  t, s = symbols('t s')
  laplace_transform(sin(t), t, s)

• Wolfram Alpha: Kalkulator simbolik online.